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如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E.(1)试说明:AC是⊙O的切线;(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,求圆中阴影部分的面积.
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如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E.
(1)试说明:AC是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,求圆中阴影部分的面积.
(1)试说明:AC是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,求圆中阴影部分的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵OB=OE,
∴∠BEO=∠EBO,
∵BE平分∠CBO,
∴∠EBO=∠CBE,
∴∠BEO=∠CBE,
∴EO∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠AEO=∠C=90°,
则AC是圆O的切线;
(2)在Rt△AEO中,∠A=30°,OE=4,
∴OA=2OE=8,∠AOE=60°,
根据勾股定理得:AE=
=4
,
则S阴影=S△AOE-S扇形EOD=
×4×4
-
=8
-
.
∴∠BEO=∠EBO,
∵BE平分∠CBO,
∴∠EBO=∠CBE,
∴∠BEO=∠CBE,
∴EO∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠AEO=∠C=90°,
则AC是圆O的切线;
(2)在Rt△AEO中,∠A=30°,OE=4,
∴OA=2OE=8,∠AOE=60°,
根据勾股定理得:AE=
OA2−OE2 |
3 |
则S阴影=S△AOE-S扇形EOD=
1 |
2 |
3 |
60π×42 |
360 |
3 |
8π |
3 |
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