证明若f（x）在区间I上处处连续，且为一一映射，则f（x）在I上必为严格单调．

Question

证明若f（x）在区间I上处处连续，且为一一映射，则f（x）在I上必为严格单调．

Answer 1

证明：利用反证法，假设f（x）在I上不严格单调，
即存在af（a）或者f（a）>f（b）且f（c）>f（b）．
不妨设①成立．
则max{f（a），f（c）}取max{f（a），f（c）}∃ξ∈（a，b），使得f（ξ）=μ；
∃η∈（a，b），使得f（η）=μ．
从而，f（ξ）=f（η）=μ，
这与f（x）为一一映射矛盾．
故假设不成立，
从而f（x）I上必为严格单调．