如图所示，光滑轨道ABCD是大型游乐设施过山车轨道的简化模型，最低点B处的入、出口靠近但相互错开，C是半径为R=0.5m的圆形轨道的最高点，BD部分水平，末端D点与右端足够长的粗糙水平传

Question

如图所示，光滑轨道ABCD是大型游乐设施过山车轨道的简化模型，最低点B处的入、出口靠近但相互错开，C是半径为R=0.5m的圆形轨道的最高点，BD部分水平，末端D点与右端足够长的粗糙水平传送带无缝连接，传送带以恒定速度v逆时针转动．现将一质量为m=1kg的小滑块从轨道AB上离地面高度为h=2.45m处由静止释放，动摩擦因数μ=0.2，求：

（1）滑块第一次通过C点时，对轨道的压力为多大？
（2）若滑块能经DBCB再次返回轨道BA段，求传送带的速度v至少为多大？
（3）若v=3m/s，则滑块在传送带上的第一次往返过程中，因摩擦而产生的总热量Q为多大？

Answer 1

（1）滑块从A运动到C的过程，由机械能守恒定律得：
mg（h-2R）=(1)/(2)m

v

2 C

-0
在C点，滑块所受的合力提供圆周运动向心力，有：
F_N′+mg=m(v2C)/(R)
联立可得轨道对物块的支持力为：F_N′=48N
根据牛顿第三定律知，在C点，滑块对轨道的压力F_N大小为48N，方向竖直向上．
（2）滑块恰好通过C点时，有：mg=m(v20)/(R)
则得：v₀=√(gR)
从D到C的过程，由机械能守恒定律有：
2mgR=(1)/(2)mv2-(1)/(2)m

v

2 0

解得：v=√(5gR)=√(5×10×0.5)=5m/s
所以若滑块能经DBCB再次返回轨道BA段，传送带的速度v至少为5m/s．
（3）对于A到D的过程，由机械能守恒定律得：
mgh=(1)/(2)m

v

2 D

代入数据解得：v_D=7m/s
滑块在传送带上运动时加速度大小为：a=(μmg)/(m)=μg=2m/s²．
滑块向右运动的时间为：t=(vD)/(a)=(7)/(2)s=3.5s
滑块向右运动的位移为：x=(vD)/(2)t=(7)/(2)×3.5m=12.25m
在此过程中传送带的位移为：x_带=vt=3×3.5m=10.5m，
所以两者相对位移为：△x=x+x′=24.5m
滑块向左运动到速度与传送带相同的时间为：t′=(v)/(a)=(3)/(2)=1.5s
在此过程中滑块与传送带的相对位移为：△x′=(v)/(2)t′+vt′=(3)/(2)×1.5+3×1.5=6.75m
故滑块