已知f（x）=|sinx|+|cosx|，试根据下列要求研究函数f（x）的性质：（1）证明：函数f（x）是偶函数；（2）函数f（x）是周期函数，并求出它的一个周期；（3）写出函数f（x）的单调区间（不必

Question

已知f（x）=|sinx|+|cosx|，试根据下列要求研究函数f（x）的性质：
（1）证明：函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）是周期函数，并求出它的一个周期；
（3）写出函数f（x）的单调区间（不必证明），并求函数f（x）的最值．

Answer 1

（1）f（-x）=|cos（-x）|+|sin（-x）|=|cosx|+|sinx|=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（2）∵f（x+(π)/(2)）=|sin（x+(π)/(2)）|+|cos（x+(π)/(2)）=|cosx|+|sinx|，
∴此时(π)/(2)是函数的一个周期．
（3）f（x）=

sin⁡x+cos⁡x，0≤x≤(π)/(2)

sin⁡x−cos⁡x，(π)/(2)＜x≤π

−sin⁡x−cos⁡x，π＜x≤(3π)/(2)

cos⁡x−sin⁡x，(3π)/(2)＜x≤2π

，
作出函数f（x）的图象可知：
函数的单调递增区间为[(kπ)/(2)，(kπ)/(2)+(π)/(4)]，k∈Z，
函数的单调递减区间为[(kπ)/(2)+(π)/(4)，(kπ)/(2)+(π)/(2)]，k∈Z，
当x∈[0，2π]时，f（x）∈[1，√(2)]，
则函数的最大值√(2)，最小值为1．