某品牌空调企业为扩大投资效益．决定成立科研课题组来研发一种新产品．根据分析和预测．新产品若研发成功，可获得10万元-1000万元的投资收益，与此同时，企业拟制订方案对课题组进行

Question

某品牌空调企业为扩大投资效益．决定成立科研课题组来研发一种新产品．根据分析和预测．新产品若研发成功，可获得10万元-1000万元的投资收益，与此同时，企业拟制订方案对课题组进行奖励，奖励方案是通过奖金y（单位：万元）与投资收益x（单位：万元）的模拟函数来进行，要求模拟函数y=f（x）所满足的条件是：（i）y=f（x）在[10，1000]上是增函数；（ii）f（x）≤9；（iii）f（x）≤(1)/(5)x．
（1）试分析下列模拟函数中哪个符合奖励方案的要求？并说明你的理由．
①f（x）=-（x-10）³+9；②f（x）=4e^x+9；③f（x）=4lgx-3．
（2）对于（1）中符合奖励方案要求的模拟函数f（x），若使得f（x）<kx-3在（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）结论：下列模拟函数中③符合奖励方案的要求．
理由如下：①∵f（x）=-（x-10）³+9在[10，1000]上单调递减，
∴与y=f（x）在[10，1000]上是增函数矛盾，故排除；
②∵f（x）=4e^x+9在[10，1000]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（1000），显然与f（x）≤9矛盾，故排除；
③易知f（x）=4lgx-3在[10，1000]上单调递增，
且f（1000）=4lg10³-3=9，
令g（x）=4lgx-3-(1)/(5)x，则g′（x）=(4)/(x)•(1)/(ln10)-(1)/(5)，
又∵当x∈[10，1000]时(4)/(x)≤(4)/(10)=(2)/(5)，且(1)/(ln10)<(1)/(lne2)=(1)/(2)，
∴g′（x）<0，即g（x）在[10，1000]上单调递减，
∴g（x）≤g（10）=4lg10-3-2=-1<0，
∴4lgx-3<(1)/(5)x，
∴模拟函数f（x）=4lgx-3满足符合奖励方案；
（2）由（1）可知f（x）<kx-3在（0，+∞）上恒成立，
∴4lgx-3<kx-3在（0，+∞）上恒成立，
即4lgx<kx在（0，+∞）上恒成立，
即(4lgx)/(x)<k在（0，+∞）上恒成立，
记t（x）=(4lgx)/(x)，则t′（x）=4•((1)/(xln10)•x-lgx)/(x2)=(lge-lgx)/(x2)，
令t′（x）=0，可知x=e，
∴t（x）≤t（e）=4•(lge)/(e)=(4lge)/(e)，
∴实数k的取值范围是[(4lge)/(e)，+∞）．