直线l过定点P（0，1），且与直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0分别交于A、B两点、若线段AB的中点为P，求直线l的方程．

Question

直线l过定点P（0，1），且与直线l₁：x-3y+10=0，l₂：2x+y-8=0分别交于A、B两点、若线段AB的中点为P，求直线l的方程．

Answer 1

方法一，设A（x₀，y₀），由中点公式，有B（-x₀，2-y₀），
∵A在l₁上，B在l₂上，∴

x0-3y0+10=0

-2x0+2-y0-8=0

，解得

x0=-4

y0=2

，
∴kAP=(1-2)/(0+4)=-(1)/(4)，故所求直线l的方程为：y=-(1)/(4)x+1，
故所求直线l的方程为x+4y-4=0；
方法2二，设所求直线l方程为：y=kx+1，l与l₁、l₂分别交于M、N、
解方程组

y=kx+1

x-3y+10=0

，解得

x=(7)/(3k-1)

y=(10k-1)/(3k-1)

，∴N((7)/(3k-1)， (10k-1)/(3k-1))；
解方程组

y=kx+1

2x+y-8=0

，解得

x=(7)/(k+2)

y=(8k+2)/(k+2)

，∴N((7)/(k+2)， (8k+2)/(k+2))，
∵M、N的中点为P（0，1），则有：(1)/(2)((7)/(3k-1)+(7)/(k+2))=0，∴k=-(1)/(4)．
故所求直线l的方程为x+4y-4=0；
方法3 设所求直线l与l₁、l₂分别交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），P（0，1）为MN的中点，
则有

x1+x2=0

y1+y2=2

，可得

x2=-x1

y1y2=2-y1

代入l₂的方程得：2（-x₁）+2-y₁-8=0，即2x₁+y₁+6=0，
解方程组

x1-3y1+10=0

2x1+y1+6=0

，解得

x1=-4

y1=2

，所以M（-4，2）．
由两点式：所求直线l的方程为x+4y-4=0．