f(x)＝2xx+2，x1=1，xn=f（xn-1）（n∈N且n≥2），（1）计算x2，x3，x4的值；（2）并猜想xn（n∈N+）的值；（3）用数学归纳法证明你的结论．

Question

f(x)＝(2x)/(x+2)，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N且n≥2），
（1）计算x₂，x₃，x₄的值；
（2）并猜想x_n（n∈N₊）的值；
（3）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

（1）∵f(x)＝(2x)/(x+2)，x₁=1，x_n=f（x_n-1），
∴x₂=(2)/(3)，x₃=(2)/(4)＝(1)/(2)，x₄=(2)/(5)；
（2）猜想x_n=(2)/(n+1)（n∈N₊）              （*）      
（3）①当n=1时，x₁=1=(2)/(1+1)，（*）成立；        
②假设n=k时（*）成立，即x_k=(2)/(k+1)
当n=k+1时，x_k+1=f（x_k）=(2xk)/(xk+2)＝(2×(2)/(k+1))/((2)/(k+1)+2)＝(2)/((k+1)+1)
即当n=k+1时，（*）成立      
根据①和②，可知对任何n∈N₊（*）都成立．