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已知函数f(x)=xx−2.(1)判断函数f(x)在(-2,2)上的单调性,并用单调性的定义加以证明;(2)求函数f(x)在[−12,12]上的值域.
题目详情
已知函数f(x)=
.
(1)判断函数f(x)在(-2,2)上的单调性,并用单调性的定义加以证明;
(2)求函数f(x)在[−
,
]上的值域.
x |
x−2 |
(1)判断函数f(x)在(-2,2)上的单调性,并用单调性的定义加以证明;
(2)求函数f(x)在[−
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▼优质解答
答案和解析
(1)函数f(x)在(-2,2)上是减函数.
证明:设-2<x1<x2<2,f(x1)-f(x2)=
−
=
,
∵-2<x1<x2<2,∴x2-x1>0,x1-2<0,x2-2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(-2,2)上是减函数.
(2)由(1)知函数f(x)在(-2,2)上是减函数,
所以函数f(x)在[-
,
]上也是减函数,故函数的最大值为f(-
)=
,最小值为f(
)=-
,
所以函数f(x)在[-
,
]上的值域为[-
,
].
证明:设-2<x1<x2<2,f(x1)-f(x2)=
x1 |
x1−2 |
x2 |
x2−2 |
2(x2−x1) |
(x1−2)(x2−2) |
∵-2<x1<x2<2,∴x2-x1>0,x1-2<0,x2-2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(-2,2)上是减函数.
(2)由(1)知函数f(x)在(-2,2)上是减函数,
所以函数f(x)在[-
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所以函数f(x)在[-
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