已知函数f（x）=xx−2．（1）判断函数f（x）在（-2，2）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）求函数f（x）在[−12，12]上的值域．

Question

已知函数f（x）=(x)/(x−2)．
（1）判断函数f（x）在（-2，2）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）求函数f（x）在[−(1)/(2)，(1)/(2)]上的值域．

Answer 1

（1）函数f（x）在（-2，2）上是减函数．
证明：设-2＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）-f（x₂）=(x1)/(x1−2)−(x2)/(x2−2)=(2(x2−x1))/((x1−2)(x2−2))，
∵-2＜x₁＜x₂＜2，∴x₂-x₁＞0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（-2，2）上是减函数．
（2）由（1）知函数f（x）在（-2，2）上是减函数，
所以函数f（x）在[-(1)/(2)，(1)/(2)]上也是减函数，故函数的最大值为f（-(1)/(2)）=(1)/(5)，最小值为f（(1)/(2)）=-(1)/(3)，
所以函数f（x）在[-(1)/(2)，(1)/(2)]上的值域为[-(1)/(3)，(1)/(5)]．