数列和函数结合的已知F（x)=f(x+1/2)-1是R上的奇函数,且an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+……+f（(n-1）/n)+f(1),n属于N*则数列an的通项公式为An-1BnCn+1Dn2

Question

数列和函数结合的
已知F（x)=f(x+1/2)-1是R上的奇函数,且
an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+……+f（(n-1）/n)+f(1),n属于N*
则数列an的通项公式为
A n-1 B n C n+1 D n2

Answer 1

F(x)是R上的奇函数
所以-F(x)=F(-x)
-f(x+1/2)+1=f(-x+1/2)-1
f(1/2+x)+f(1/2-x)=2
令1/2+x=t
则1/2-x=1-t
所以f(t)+f(1-t)=2
即f(x)+f(1-x)=2
n为奇数时
an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+……+f（(n-1）/n)+f(1)
=2*(n+1)/2
=n+1
n为偶数时
f(1/2)+f(1/2)=2
所以f(1/2)=1
an= f(0)+f(1/n)+f(2/n)+… f(1/2) …+f（(n-1）/n)+f(1)
=2*n/2+1
=n+1
综上
an=n+1