请考生注意：重点高中学生做（2）（3）．一般高中学生只做（1）（2）．已知函数f(x)=(1-a)x-lnx-ax-1(a∈R)（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（2）当a＞0

Question

请考生注意：重点高中学生做（2）（3）．一般高中学生只做（1）（2）．
已知函数 f(x)=(1-a)x-lnx-(a)/(x) -1(a∈R)
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当 a=(3)/(4) 时，设g（x）=x ² -bx+1，若对任意x ₁ ∈（0，2]，都存在x ₂ ∈（0，2]，都存在x ₂ ∈[1，2]使f（x ₁ ）≤g（x ₂ ），求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数 f(x)=(1-a)x-lnx-(a)/(x) -1(a∈R)
∴f′（x）= ((1-a) x2 -x+a)/(x2) (x＞0)
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
∴ 0=(6-8a)/(9)
∴6-8a=0
∴a= (3)/(4) ；
（2）若a=1时， f′(x)=-(x-1)/(x2) ，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
若a≠1时，令f′（x）=0，可得x ₁ =1，x ₂ = (a)/(1-a)
①若 (a)/(1-a) ≤0 ，则a≥1，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
②若 (a)/(1-a) ＞ 0，即0＜a＜1时
（Ⅰ）0＜ a＜(1)/(2) 时， (a)/(1-a) ＜ 1，在（0， (a)/(1-a) ），（1，+∞）上为增函数，在（ (a)/(1-a) ，1）上为减函数
（Ⅱ） (1)/(2) ＜a＜1 时，在（0，1），（ (a)/(1-a) ，+∞）上为增函数，在（1， (a)/(1-a) ）上为减函数
（Ⅲ） a=(1)/(2) 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上恒为增函数．
（3）当 a=(3)/(4) 时，由（1）知，函数 f(x)=(1)/(4) x-lnx-(3)/(4x) -1 在 （0，1）是增函数，在（1，2）是减函数
∴f（x）在（0，2]的最大值为f（1）=- (3)/(2)
若对任意x ₁ ∈（0，2]，都存在x ₂ ∈（0，2]，都存在x ₂ ∈[1，2]使f（x ₁ ）≤g（x ₂ ），等价于函数f（x）在（0，2]的最大值- (3)/(2) 不大于g（x）在[1，2]的最大值
下面求g（x）=x ² -bx+1在[1，2]上的最大值
∵g（x）=x ² -bx+1的对称轴是直线 x=(b)/(2)
①当 (b)/(2) ≤(3)/(2) ，即b≤3时，g（x）在[1，2]为增函数，则g（x） _max =g（2）=5-2b，
∴ -(3)/(2) ≤5-2b ，∴b≤ (13)/(4) ，满足b≤3；
②当 (b)/(2) ＞(3)/(2) ，即b＞3时，g（x）在[1，2]为减函数，则g（x） _max =g（1）=2-b，
∴ -(3)/(2) ≤2-b ，∴b≤ (7)/(2) ，∴3＜b≤ (7)/(2) ，
综上，实数b的取值范围为b≤ (7)/(2) ．