已知抛物线y=-x2+2kx-k2+k+1（k是常数）（1）通过配方，写出抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求证：不论k取任何实数，抛物线的顶点都在某一次函数的图象上．并指出此一次函数的解析式；

Question

已知抛物线y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常数）
（1）通过配方，写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）求证：不论k取任何实数，抛物线的顶点都在某一次函数的图象上．并指出此一次函数的解析式；
（3）设此抛物线与y轴的交点为A（0，1），其顶点为B．试问：在x轴上是否存在一点P，使△ABP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．

Answer 1

（1）因为y=-x2+2kx-k2+k+1=-（x-k）2+k+1，所以抛物线的顶点坐标是（k，k+1），对称轴是x=k．（2）因为抛物线的顶点为（k，k+1），所以x＝ky＝k+1，消去k得，y=x+1由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点（k，k+1...