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如图,在四边形ABCD中,AB=BC=1,∠ABC=90°,且AB∥CD,将一把三角尺的直角顶点P放在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,探究:(1)如图,当点Q在边CD上时,
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![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/8326cffc1e178a8257b85b12f503738da877e8f8.jpg)
(1)如图,当点Q在边CD上时,线段PQ与BP有怎样的数量关系?并证明你的猜想.
(2)当点Q在线段DC延长线上时,在备用图中画出符合要求的示意图,并判断(1)中的结论是否仍成立?
(3)点P在线段AC上运动时,△PCQ是否可能为等腰三角形?若可能,求此时AP的值;若不可能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E,
∵∠PCE=45°,∠PEQ=90°,
∴PE=EC.
∴四边形PFCE是正方形.
∴PE=PF.
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ,∠BFP=∠PEQ=90°,
在△BPF与△QPE中,
,
∴△BPF≌△QPE(ASA),
∴BP=PQ;
(2)成立.
理由:如图2,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E,
∵∠PCE=45°,∠PEC=90°,
∴PE=EC.
∴四边形PFCE是正方形.
∴PE=PF.
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ,∠BFP=∠PEQ=90°,
在△BPF与△QPE中,
,
∴△BPF≌△QPE(ASA),
∴BP=PQ;
(3)能.
证明:如图3,延长BP交DC于G,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9d82d158ccbf6c81168c085abf3eb13532fa40cc.jpg)
∵点Q在DC的延长线上,
∴∠PCQ>90°,
∴等腰△PCQ中,PC=QC,
∴∠1=∠2,
∵∠BPQ=90°,
∴∠1+∠5=90°,∠2+∠3=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠5=∠3,
在正方形ABCD中,AB∥DC,
∴∠4=∠5,
∴∠4=∠3,
∴AP=AB=1.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8014a90f603738d5bce2890b01bb051f919ecf8.jpg)
∵∠PCE=45°,∠PEQ=90°,
∴PE=EC.
∴四边形PFCE是正方形.
∴PE=PF.
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ,∠BFP=∠PEQ=90°,
在△BPF与△QPE中,
|
∴△BPF≌△QPE(ASA),
∴BP=PQ;
(2)成立.
理由:如图2,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E,
∵∠PCE=45°,∠PEC=90°,
∴PE=EC.
∴四边形PFCE是正方形.
∴PE=PF.
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ,∠BFP=∠PEQ=90°,
在△BPF与△QPE中,
|
∴△BPF≌△QPE(ASA),
∴BP=PQ;
(3)能.
证明:如图3,延长BP交DC于G,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9d82d158ccbf6c81168c085abf3eb13532fa40cc.jpg)
∵点Q在DC的延长线上,
∴∠PCQ>90°,
∴等腰△PCQ中,PC=QC,
∴∠1=∠2,
∵∠BPQ=90°,
∴∠1+∠5=90°,∠2+∠3=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠5=∠3,
在正方形ABCD中,AB∥DC,
∴∠4=∠5,
∴∠4=∠3,
∴AP=AB=1.
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