（1）设x是正实数，求证：（x+1）（x2+1）（x3+1）≥8x3；（2）若x∈R，不等式（x+1）（x2+1）（x3+1）≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不

Question

（1）设x是正实数，求证：（x+1）（x ² +1）（x ³ +1）≥8x ³ ；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x ² +1）（x ³ +1）≥8x ³ 是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

Answer 1

证明：（1）∵x是正实数，由均值不等式知x+1≥2

x

，
1+x ² ≥2x，
x ³ +1≥2

x 3

，
∴（x+1）（x ² +1）（x ³ +1）≥2

x

•2x•2

x 3

=8x ³ （当且仅当x=1时等号成立）；
故（x+1）（x ² +1）（x ³ +1）≥8x ³ ；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x ² +1）（x ³ +1）≥8x ³ 仍然成立，
当x＞0时，由（1）知不等式成立；
当x≤0时，8x ³ ≤0，
∵（x ³ +1）=（x+1）（x ² -x+1）
∴（x+1）（x ² +1）（x ³ +1）=（x+1） ² （x ² +1）（x ² -x+1）
=（x+1） ² （x ² +1）[（x- (1)/(2) ） ² + (3)/(4) ]≥0，
综上可知，此时不等式仍然成立．