△ABC是等边三角形,△BCD是等腰直角三角形,AE⊥直线BD于E,如图1,若点D在△ABC内求证AE=DE,若点D在外,结论是否仍成立

Question

△ABC是等边三角形,△BCD 是等腰直角三角形,AE⊥直线BD于E,如图1,若点D在△ABC内
求证AE=DE,若点D在外,结论是否仍成立

Answer 1

证明：
若点D在⊿ABC内
连接AD
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60º
∵⊿BCD是等腰直角三角形
∴BD=CD
又∵AD=AD,∠DBC=45º
∴⊿ABD≌⊿ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD=½∠BAC=30º
∵∠ABD=60º-45º=15º
∠AEB=90º
∴∠BAE=180º-∠AEB-∠ABE=75º
则∠EAD=∠BAE-∠BAD=75º-30º=45º
∴⊿ADE是等腰直角三角形
∴AE=DE
若点D在外【更简单】
∵AD=AC,DB=DC,AD=AD
∴⊿ABD≌⊿ACD（SSS）
∴∠ADB=∠ABD=½∠BDC=45º
∵AE⊥BD于E
∴⊿AED是等腰直角三角形
∴AE=DE