2010年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB设计为抛物线型，渠宽AB为2m，渠深OC为1.5m，正常灌溉时水面EF距AB为0.5m．（1）

Question

2010年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB设计为抛物线型，渠宽AB为2m，渠深OC为1.5m，正常灌溉时水面EF距AB为0.5m．
（1）求水面EF的宽度；
（2）为了使灌渠流量加大，将此水渠的横截面改造为等腰梯形，受地理条件限制要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面等腰梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？

Answer 1

（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，1.5），B（1，1.5），C（0，1.5）．

设抛物线方程为x²=2py（p＞0），由点A（-1，1.5）代入方程，得到1=2p×1.5，即p＝(1)/(3)，所以抛物线方程为x²=(2)/(3)y，
由点E的纵坐标为1，得到点E横坐标为−(√(6))/(3)，所以截面图中水面宽度为(2√(6))/(3)m．
（2）设抛物线上一点M(t，(3)/(2)t2)(t＞0)，因为改造水渠时只准挖土，而且要求挖出的土最少，
所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土．
由x2＝(2)/(3)y，即y＝(3)/(2)x2，求导得y'=3x，所以过点M的切线斜率为3t，切线方程为y−(3)/(2)t2＝3t(x−t)，
令y=0，则x1＝(t)/(2)，令y＝(3)/(2)，则x2＝(t)/(2)+(1)/(2t)，
所以截面面积为S=(1)/(2)(2x1+2x2)×(3)/(2)＝(3)/(2)(t+(1)/(2t))≥(3√(2))/(2)，当且仅当t=(√(2))/(2)时等号成立．
所以截面梯形的下底边长为(√(2))/(2)m时，才能使所挖的土最少．