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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=e-x(x-1),给出以下命题:①当x<0时,f(x)=ex(x+1);②函数f(x)有五个零点;③若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取
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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=e-x(x-1),给出以下命题:
①当x<0时,f(x)=ex(x+1);
②函数f(x)有五个零点;
③若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是f(-2)≤m≤f(2);
④对∀x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立.
其中,正确命题的序号是______.
①当x<0时,f(x)=ex(x+1);
②函数f(x)有五个零点;
③若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是f(-2)≤m≤f(2);
④对∀x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立.
其中,正确命题的序号是______.
▼优质解答
答案和解析
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=e-x(x-1),
设x<0,则-x>0,所以-f(x)=f(-x)=ex(-x-1),即f(x)=ex(x+1),故①正确;
对x<0时的解析式求导数可得,f′(x)=ex(x+2),令其等于0,解得x=-2,
且当x∈(-∞,-2)上导数小于0,函数单调递减;当x∈(-2,+∞)上导数大于0,函数单调递增,
x=-2处为极小值点,且f(-2)>-1,且在x=1处函数值为0,且当x<-1是函数值为负.
又因为奇函数的图象关于原点中心对称,故函数f(x)的图象应如图所示:
由图象可知:函数f(x)有3个零点,故 ②错误;
若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是-1<m<1,故③错误;
由于函数-1<f(x)<1,故有对∀x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立,即④正确.
故正确的命题为①④.
设x<0,则-x>0,所以-f(x)=f(-x)=ex(-x-1),即f(x)=ex(x+1),故①正确;
对x<0时的解析式求导数可得,f′(x)=ex(x+2),令其等于0,解得x=-2,
且当x∈(-∞,-2)上导数小于0,函数单调递减;当x∈(-2,+∞)上导数大于0,函数单调递增,
x=-2处为极小值点,且f(-2)>-1,且在x=1处函数值为0,且当x<-1是函数值为负.
又因为奇函数的图象关于原点中心对称,故函数f(x)的图象应如图所示:
由图象可知:函数f(x)有3个零点,故 ②错误;
若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是-1<m<1,故③错误;
由于函数-1<f(x)<1,故有对∀x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立,即④正确.
故正确的命题为①④.
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