已知函数f（x）=12x+1+m，m∈R．（1）若m=-12，求证：函数f（x）是R上的奇函数；（2）若函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(1)/(2x+1)+m，m∈R．
（1）若m=-(1)/(2)，求证：函数f（x）是R上的奇函数；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1 ）定义域为R关于原点对称．因为
f（x）+f（-x）=(1)/(2x+1)−(1)/(2)+(1)/(2−x+1)−(1)/(2)=(1)/(2x+1)−(1)/(2)+(2x)/(2x+1)−(1)/(2)=0，
所以函数f（x）是定义在R上的奇函数．
（2）f'（x）=-(2xln2)/((1+2x)2)＜0，
∴f（x）是实数集R上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即（m+(1)/(3)）（m+(1)/(5)）＜0解之得-(1)/(3)＜m＜-(1)/(5)，
故函数f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥-(1)/(5)或m≤-(1)/(3)…（14分）