已知关于x的方程x²+2mx-n=0无实数根。1）求证：m+n＜1/42）判断命题“若m+n＜1/4，则关于x的方程x²+2mx-n=0无实数根”的真假，并作出证明。

Question

已知关于x的方程x²+2mx-n=0 无实数根。
1）求证：m+n＜1/4
2）判断命题“若m+n＜1/4，则关于x的方程x²+2mx-n=0无实数根”的真假，并作出证明。

Answer 1

1）无实根，则判别式<0
即(2m)²+4n<0
得m²+n<0
得n故m+n因此有m+n<1/4

2) 这是假命题
当m+n<1/4时，得n<1/4-m
判别式=4(m²+n)<4(m²+1/4-m)=(2m-1)²， 这不一定无实根
比如取m=2, n=-2, m+n=0<1/4, 但方程x²+4x+2=0有2个不等实根。