求lim(x趋向于0）{[ln（1+x）*ln(1-x)-ln(1-x^2)]/x^4}

Question

求lim(x趋向于0）{[ln（1+x）*ln(1-x)-ln(1-x^2)]/x^4}

Answer 1

注意一下等价无穷小的使用条件,这里使用等价无穷小显然是不太明智的,因为你会发现使用后分子为0,而分子在x→0的时候,本来就是趋向于0的.
强调的是:等价无穷小在使用时,必须是整体的使用,也就是说必须是分子分母为连乘的形式.
本题使用洛必达法则是可以求的,因为当x→0时,分子分母都趋向于0,那么上下求导:
原式=lim{[1/(1+x)]*ln(1-x)-[1/(1-x)]*ln(1+x)+2x/(1-x²)}/4x^3
=lim[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/[4x^3(1-x²)]
.(分子分母同时为0,再次使用洛必达)
=lim[-ln(1-x)-ln(1+x)]/[12x²(1-x²)-8x^4]
.(分子分母同时为0,再次使用洛必达)
=lim2/[24(1-x²)^2-56x²(1-x²)]
=2/24
=1/12