设A，B都是n阶方阵，|A|≠0，（B-I）-1=（A-I）T，求证：B可逆．

Question

设A，B都是n阶方阵，|A|≠0，（B-I）^-1=（A-I）^T，求证：B可逆．

Answer 1

证明：由（B-I）^-1=（A-I）^T，两边同乘以B-I，得
I=（B-I）（A^T-I）=BA^T-A^T-B+I
∴B（A^T-I）=A^T
由于A，B都是n阶方阵，|A|≠0
∴|A|=|A^T|=|B（A^T-I）|=|B||A^T-I|≠0
∴|B|≠0
∴B可逆