设f(x)在[0,1]上可导且f(0)=0f(1)=1且f(x)不恒等于x,求证：存在一个数ξ在[0,1]使得f'(ξ)大于1

Question

设f(x)在[0,1]上可导且f(0)=0f(1)=1且f(x)不恒等于x,求证：存在一个数ξ在[0,1]使得f'(ξ)大于1

Answer 1

由f(x)不恒等于x,存在c∈(0,1),使f(c) ≠ c.
若f(c) < c,在[c,1]上由Lagrange中值定理得:
存在ξ∈(c,1)使f'(ξ) = (f(1)-f(c))/(1-c) = (1-f(c))/(1-c) > (1-c)/(1-c) = 1.
若f(c) > c,在[0,c]上由Lagrange中值定理得:
存在ξ∈(0,c)使f'(ξ) = (f(c)-f(0))/(c-0) = f(c)/c > c/c = 1.
综上,一定存在ξ∈(0,1)使f'(ξ) > 1.