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已知函数f(x）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0）=f(1)=0,求证存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=2ξf(ξ)成立.
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已知函数f(x）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0）=f(1)=0,
求证存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=2ξf(ξ)成立.
求证存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=2ξf(ξ)成立.
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答案和解析
设g(x) = e^(-x²)·f(x).则g(x)在[0,1]连续,在(0,1)内可导,且g(0) = 0 = g(1).由Rolle定理,存在ξ∈(0,1)使得g'(ξ) = 0.即有e^(-ξ²)·f'(ξ)-2ξe^(-ξ²)·f(ξ) = 0.而e^(-ξ²) ≠ 0,故f'(ξ...
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