已知数列{an}满足：a1=1，且n为奇数时，an+1=2an，n为偶数时，an+1=an+1，n∈N*．（1）求a2，a3并证明数列{a2n-1+1}为等比数列；（2）求数列{an}的前2n+1项和S2n+1．

Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，且n为奇数时，a_n+1=2a_n，n为偶数时，a_n+1=a_n+1，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃并证明数列{a_2n-1+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前2n+1项和S_2n+1．

Answer 1

（1）a₂=2a₁=2，a₃=a₂+1=3，
∵a_2n+1=a_2n+1=2a_2n-1+1，
∴a_2n+1+1=2（a_2n-1+1），
∴数列{a_2n-1+1}为公比是2的等比数列；
（2）S_2n+1=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+a_2n+1+a_2n+1
=3a₁+3a₃+…+3a_2n-1+a_2n+1
由（1）知，
∴a2n−1+1＝2n，
∴a2n−1＝2n−1
∴S2n+1＝3[(2−1)+(22−1)+…+(2n−1）]+a2n+1＝3(2(1−2n)/(1−2)−n)+2n+1−1=2ⁿ⁺³-3n-7