已知函数f（x）=ax-lnx-4（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=2时，若存在区间[m，n]⊆[12，+∞)，使f（x）在[m，n]上的值域是[km+1，kn+1]，求k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ax-lnx-4（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=2时，若存在区间[m，n]⊆[(1)/(2)，+∞)，使f（x）在[m，n]上的值域是[(k)/(m+1)，(k)/(n+1)]，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=(ax-1)/(x)，
当a≤0时，f'（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数，（2分）
当a>0时，令f'（x）=0，则x=(1)/(a)，当x∈(0，(1)/(a))时，f'（x）<0，f（x）为减函数，
当x∈((1)/(a)，+∞)时，f'（x）>0，f（x）为增函数，（4分）
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减函数；当a>0时，f（x）在(0，(1)/(a))上为减函数，在((1)/(a)，+∞)上为增函数．（5分）
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=2x-lnx-4，由（Ⅰ）知：f（x）在((1)/(2)，+∞)上为增函数，而[m，n]⊆[(1)/(2)，+∞)，
∴f（x）在[m，n]上为增函数，结合f（x）在[m，n]上的值域是[(k)/(m+1)，(k)/(n+1)]知：f(m)=(k)/(m+1)，f(n)=(k)/(n+1)，其中(1)/(2)≤m<n，
则f(x)=(k)/(x+1)在[(1)/(2)，+∞)上至少有两个不同的实数根，（7分）
由f(x)=(k)/(x+1)得k=2x²-2x-（x+1）lnx-4，
记φ（x）=2x²-2x-（x+1）lnx-4，x∈[(1)/(2)，+∞)，则φ′(x)=4x-(1)/(x)-lnx-3，
记F(x)=φ′(x)=4x-(1)/(x)-lnx-3，则F′(x)=(4x2-x+1)/(x2)=((2x-1)2+3x)/(x2)>0，
∴F（x）在[(1)/(2)，+∞)上为增函数，即φ'（x）在[(1)/(2)，+∞)上为增函数，
而φ'（1）=0，∴当x∈((1)/(2)，1)时，φ'（x）<0，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）>0，
∴φ（x）在((1)/(2)，1)上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，（10分）
而φ((1)/(2))=(3ln2-9)/(2)，φ（1）=-4，当x→+∞时，φ（x）→+∞，
故得：φ(1)<k≤φ(

作业帮用户 2016-12-24 举报

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