设f(x)的定义域与值域都是R,令A={x|f(x)=x}与B={x|f(f(x))=x}证明：若f（x）是单调增加函数,则A=B

Question

设f(x)的定义域与值域都是R,令A={x|f(x)=x}与B={x|f(f(x))=x}
证明：若f（x）是单调增加函数,则A=B

Answer 1

若x属于A={x|f(x)=x},则f(x)=x,
则f(f(x))=f(x)=x
即x属于B={x|f(f(x))=x},所以A包含于B
若x属于B={x|f(f(x))=x},则f(f(x))=x
若f(x)不等于x,不妨设f(x)>x
因为单调增加,
则f(f(x))>f(x)>x,与f(f(x))=x矛盾,所以f(x)=x
即x属于A,所以B包含于A
综上A=B