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己知矩形ABCD,P为矩形所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.(提示:应分P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外,三种情形加以讨论.)
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己知矩形ABCD,P为矩形所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.(提示:应分P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外,三种情形加以讨论.)
▼优质解答
答案和解析
证明:①如图1,P在矩形的边上,
在Rt△ABP中,由勾股定理,得PA2-PB2=AB2,
同理可得PD2-PC2=CD2,
由矩形的性质可得AB=CD,
∴PA2-PB2=PD2-PC2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.
②P在矩形内,如图2,过点P作AD的垂线,交AD于点E,交BC于点F,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_cccaa67dd86d3e7ee99af18fcaf3d0f5.jpg)
则四边形ABFE和CDEF为矩形,
∴AE=BF,DE=CF,
由勾股定理得:
则AP2=AE2+PE2,PC2=PF2+CF2,
BP2=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2,
∴PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2,
PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_c8e69ae21678361f19483fb028b91006.jpg)
③P在矩形外,如图3,过P作PF⊥AB于F,交CD于E,
则PE⊥CD,
∴四边形AFED与四边形BCEF是矩形,
∴BF=CE,AF=DE,
由勾股定理得:
则AP2=AF2+PF2,PC2=PE2+CE2,
BP2=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2,
∴PA2+PC2=AF2+PF2+PE2+CE2,
PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_2575e5cabf760a78d54ac5ce7295d730.jpg)
在Rt△ABP中,由勾股定理,得PA2-PB2=AB2,
同理可得PD2-PC2=CD2,
由矩形的性质可得AB=CD,
∴PA2-PB2=PD2-PC2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.
②P在矩形内,如图2,过点P作AD的垂线,交AD于点E,交BC于点F,
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则四边形ABFE和CDEF为矩形,
∴AE=BF,DE=CF,
由勾股定理得:
则AP2=AE2+PE2,PC2=PF2+CF2,
BP2=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2,
∴PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2,
PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.
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③P在矩形外,如图3,过P作PF⊥AB于F,交CD于E,
则PE⊥CD,
∴四边形AFED与四边形BCEF是矩形,
∴BF=CE,AF=DE,
由勾股定理得:
则AP2=AF2+PF2,PC2=PE2+CE2,
BP2=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2,
∴PA2+PC2=AF2+PF2+PE2+CE2,
PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.
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