设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求COV(X,Y),Pxy.

Question

设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求COV(X,Y),Pxy.

Answer 1

cov(X,Y)= -1/36,ρXY= -1/2,下面是过程.
（1）在三角形内,因为密度均匀,所以概率密度函数p(X,Y)=1/该三角形面积=1/(1/2)=2.
（2）计算E(X),E(X^2),E(Y),E(Y^2),D(X)和D(Y).
E(X)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) x*p(x,y) dydx=积分X(0到1) x(1-x)*2 dx=(x^2-2/3*x^3)|(0,1)=1/3.
E(X^2)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) x^2*p(x,y) dydx=积分X(0到1) x^2*(1-x)*2 dx=(2/3*x^3-1/2*x^4)|(0,1)=1/6.
因为X,Y对称,所以E(Y)=1/3,E(Y^2)=1/6.
所以D(X)=E(X^2)-E(X)*E(X)=1/6-1/3*1/3=1/18,同理D(Y)=1/18.
（3）E(XY)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) xy*p(x,y)dydx=积分X(0到1) x(1-x)^2 dx=(1/2*x^2-2/3*x^3 1/4*x^4)|(0,1)=1/12.
（4）所以,根据定义：
COV(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=1/12-1/3*1/3= -1/36.
ρXY=COV(X,Y)/(根号D(X)*根号D(Y))=-1/36/(1/18)= -1/2.