如图甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE⊥平面ABEF．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AB⊥平

Question

如图甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE⊥平面ABEF．
（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AB⊥平面BCE；
（Ⅲ）求三棱锥C-ADE的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题意知AF∥BE，∴AF∥面BCE，同理，∵DF∥CE，
∴DF∥面BCE．AF∩DF=F，AF⊂面ADF，DF⊂面ADF，∴面ADF∥面BCE．
∵AD⊂面ADF，∴AD∥面BCE．（4分）
（Ⅱ）在图甲中，EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，∴在图乙中CE⊥EF．
∵平面CDEF⊥平面ABFE，平面CDEF∩平面ABFE=EF∴CE⊥平面ABFE，
∴CE⊥AB，又AB⊥BE，∴AB⊥平面BCE．（8分）
（Ⅲ）∵平面CDEF⊥平面ABFE，AF⊥EF，∴AF⊥平面CDEF，（10分）
AF为三棱锥A-CDE的高，且AF=1，又AB=CE=2，
∴S△CDE＝(1)/(2)×2×2＝2，∴VC−ADE＝VA−CDE＝(1)/(3)×2×1＝(2)/(3)．（12分）