已知f(x),x∈R对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b).且当x>1时,f(x)>0(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)求证函数f(x)在(0,+无穷大）上是增函数

Question

已知f(x),x∈R对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b).且当x>1时,f(x)>0
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证函数f(x)在(0,+无穷大）上是增函数

Answer 1

（1）令a=b=1,得：f(1)=2f(1),所以：f(1)=0
令a=b=-1,得：f(1)=2f(-1),因为f(1)=0,则可知f(-1)=0
令b=-1,得：f(-a)=f(a)+f(-1),因为f(-1)=0,所以：f(-a)=f(a)
所以,f(x)是偶函数
（2）令01时,有f(x)>0
所以：f(x2/x1)>0
x2=(x2/x1)*x1
所以,f(x2)=f[(x2/x1)*x1]=f(x2/x1)+f(x1)
则：f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
即0