（2008•崇明县二模）等差数列{bn}的首项为1，公差为2，数列{an}与{bn}且满足关系式bn＝a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n（n∈N*），奇函数f（x）定义域为R，当x＜0时，f(x)＝−3qx3qx+p−1．（1）求函数f（x

Question

（2008•崇明县二模）等差数列{b_n}的首项为1，公差为2，数列{a_n}与{b_n}且满足关系式bn＝(a1+2a2+3a3+…+nan)/(1+2+3+…+n)（n∈N^*），奇函数f（x）定义域为R，当x＜0时，f(x)＝−(3qx)/(3qx+p−1)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若

lim

n→∞

f(an)＝0，求p+q必须满足的条件．

Answer 1

（1）当x=0时，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0当x＞0时，f(x)＝−f(−x)＝(3−qx)/(3−qx+p−1)＝(1)/((p−1)•3qx+1)
所以f（x）=

−(3qx)/(3qx+p−1)   x＜0

0                  x＝0

(1)/((p−1)•3qx+1)x＞0

（2）当n=1时，a₁=b₁=1；
当n≥2时，由于(n(n+1))/(2)bn＝a1+2a2+3a3+…+nan，所以((n−1)n)/(2)bn−1＝a1+2a2+3a3+…+(n−1)an−1
相减计算得a_n=3n-2
检验得a_n=3n-2（n∈N^*）
（3）由于f（x）=

−(3qx)/(3qx+p−1)   x＜0

0                  x＝0

(1)/((p−1)•3qx+1)x＞0

的定义域为R，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0所以

lim

n→∞

f(an)＝

lim

n→∞

(1)/((p−1)•3−2(33q)n+1)＝

 1

 0＜33q＜1

(9)/(p+8)

 33q＝1

0

  33q＞1

由于

lim

n→∞

f(an)＝0，所以3^3q＞1，即q＞0，
因此p+q＞1．