证明曲线积分∫(3，4)(1，2)（xy2-3y）dx+（x2y-3x）dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算其积分值．

Question

证明曲线积分

∫	(3，4) (1，2)

（xy²-3y）dx+（x²y-3x）dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算其积分值．

Answer 1

由题意，设P=xy²-3y，Q=x²y-3x，因此
(∂P)/(∂y)=(∂Q)/(∂x)=2xy-3
∴曲线积分与积分路径无关
∴选取积分路径为从（1，2）到（3，2）再到（3，4），得
原式=

∫

3 1

P(x，2)dx+

∫

4 2

Q(3，y)dy=

∫

3 1

(4x-6)dx+

∫

4 2

(9y-9)dy=94