对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+4x-a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；

Question

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+4x-a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若f（x）=2^x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（3）（文）若f（x）=e^x-ex-2m为定义域R上的“局部奇函数”，求证：若x＞1，则e^x＞x²-2mx+1．

Answer 1

f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）+f（-x）=0有解．
（1）当f（x）=ax²+4x-a（a∈R）时，
方程f（x）+f（-x）=0即2a（x²-1）=0有解x=±1，所以f（x）为“局部奇函数”．
（2）当f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（5分）
令t＝2x∈[(1)/(2)，2]，则−2m＝t+(1)/(t)．
设g（t）=t+(1)/(t)，则g'（t）=1-(1)/(t2)＝(t2−1)/(t2)，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．       …（7分）
所以t∈[(1)/(2)，2]时，g（t）∈[2，(5)/(2)]．
所以−2m∈[2，(5)/(2)]，即m∈[−(5)/(4)，−1]．                          …（9分）
（文）f（x）=e^x-ex-2m为定义域R上的“局部奇函数”，
f（x）+f（-x）=0可化为m＝(ex+e−x)/(4)≥(2√(exe−x))/(4)＝(1)/(2)（x=0时等号成立），即m≥(1)/(2)．
设g（x）=e^x-x²+2mx-1（x＞1），由g'（x）=e^x-2x+2m≥e^x-2x+1，
显然，由图象知，x＞1时e^x-2x+1＞0成立，所以g'（x）≥e^x-2x+1＞0，
函数g（x）=e^x-x²+2mx-1在（1，+∞）上递增，则g(x)＞g(1)＝e+2m−2≥e+2×(1)/(2)−2＞0．
即e^x＞x²-2mx+1成立．