求函数的值域：y=x+√（1-x²）.∵1-x²≥0∴-1≤x≤1∴设x=cosα,α∈[0,π]则y=cosα+sinα=√2sin（α+π/4）∵α∈[0,π]∴α+π/4∈[π/4,5π/4]∴sin(α+π/4)∈[-√2/2,1]∵√2sin（α+π/4）∈[-1,√2]∴原函数

Question

求函数的值域：y=x+√（1-x²）.
∵1-x²≥0
∴-1≤x≤1
∴设x=cosα,α∈[0,π]
则y=cosα+sinα=√2sin（α+π/4）
∵α∈[0,π]
∴α+π/4∈[π/4,5π/4]
∴sin(α+π/4)∈[-√2/2,1]
∵√2sin（α+π/4）∈[-1,√2]
∴原函数值域为[-1,√2]
我想问一下,为什么要设x=cosα?这点看不懂...为什么这样设?能不能说清楚点?

Answer 1

这个主要是根据变量的值域进行假设的.
一般来说,在高中数学题中,需要用到三角代换的一般是这么一些种类：
1.√（a^2 - x^2) 假设成：x=a cosα,或x=a sinα
2.对于有时候出现的 x^2 - a^2,可以假设成：x=a tanα
3.对于 x^2 + y^2 = a^2,可以假设成：x=a cosα,y=a sinα.