用三种不同方法解题已知变量x1,x2,y1,y2,m,n属于R,且x1^2+y1^2=m,x2^2+y2^2=n(m,n为定值),求x1x2+y1y2的最大值

Question

用三种不同方法解题
已知变量x1,x2,y1,y2,m,n属于R,且x1^2+y1^2=m,x2^2+y2^2=n(m,n为定值),求x1x2+y1y2的最大值

Answer 1

解法1 （分析法）要证（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22）
即证：x12x22+y12y22+2x1y1x2y2≤x12x22+x12y22+y12x22+y12y22
即证：2x1y1x2y2≤x12y22+y12x22
即证：0≤x12y22+y12x22-2x1y1x2y2=（x1y2+y1x2）2
上式明显成立．
故（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22）=mn
解法2 （综合法）
因为x12y22+y12x22≥2x1y1x2y2（重要不等式）
所以（x1x2+y1y2）2
=x12x22+y12y22+2x1y1x2y2
≤x12x22+x12y22+y12x22+y12y22
=（x12+y12）（x22+y22）=mn
解法3 （作差法）
因为（x12+y12）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2
=（x12x22+x12y22+y12x22+y12y22）-（x12x22+y12y22+2x1y1x2y2）
=y12x22+x12y22-2x1y1x2y2
=（y12x22-x12y22）2≥0
所以（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22）=mn