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试证如果两个r阶矩阵A与C的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基础解系，则必定存在一个r阶满秩阵B，使得A=BC．
题目详情
试证如果两个r阶矩阵A与C的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基础解系，则必定存在一个r阶满秩阵B，使得A=BC．
▼优质解答
答案和解析
证明：设A的行向量为a1，a2，a3，…，ar，C的行向量为c1，c2，c3，…，cr
由于C是基础解系，而A是方程组的解，
所以向量组a1，…，am可由向量组c1，c2，…，cm表出，
具体的说，就是存在系数kij，使得
ai=ki1c1+ki2c2+…+kimcm（i=1，2，…，m）
令m阶矩阵B=kij，就满足A=BC
又A和C的地位是对称的，同理也存在m阶矩阵D，使得C=DA
所以A=BC=（BD）A
由于A是基础解系，即A的行向量线性无关，
所以有BD=E
因此B是可逆的．
由于C是基础解系，而A是方程组的解，
所以向量组a1，…，am可由向量组c1，c2，…，cm表出，
具体的说，就是存在系数kij，使得
ai=ki1c1+ki2c2+…+kimcm（i=1，2，…，m）
令m阶矩阵B=kij，就满足A=BC
又A和C的地位是对称的，同理也存在m阶矩阵D，使得C=DA
所以A=BC=（BD）A
由于A是基础解系，即A的行向量线性无关，
所以有BD=E
因此B是可逆的．
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