（2014•南昌模拟）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个

Question

（2014•南昌模拟）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60⁰，即∠DBE=60°，
所以(ED)/(DB)＝√(3)．
由AD=3，可知DE＝3√(6)，AF＝√(6)．
则A（3，0，0），F(3，0，√(6))，E(0，0，3√(6))，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

＝(0，−3，√(6))，

EF

＝(3，0，−2√(6))．
设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则

n•

BF

＝0

n•

EF

＝0

，即

−3y+√(6)z＝0

3x−2√(6)z＝0

．
令z＝√(6)，则n=(4，2， √(6))．
因为AC⊥平面BDE，所以

CA

为平面BDE的法向量，

CA

＝(3，−3，0)．
所以cos〈n，

CA

＞＝(n•CA)/(|n||CA|)＝(6)/(3√(2)×√(26))＝(√(13))/(13)．
因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为(√(13))/(13)．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则

AM

＝(t−3，t，0)．
因为AM∥平面BEF，
所以

AM

•n=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当BM＝(1)/(3)BD时，AM∥平面BEF．…（12分）