（2,1,-1,3）,（-1,0,1,2）扩充为R4的一个基

Question

（2,1,-1,3）,（-1,0,1,2） 扩充为R4的一个基

Answer 1

R4的基需要4个向量,现在只有两个,所以需要找到另外两个向量e3,e4,与e1,e2组成一个向量组,这个向量组是正交向量组,且是标准正交向量组,即e3,e4也是单位向量.
首先,e3,e4都与e1,e2都正交,所以e3,e4满足(e1,x)=(e2,x)=0,展开即是方程组
-2x1-x2+3x3=0
-6x1-3x2-5x3+14x4=0
求出基础解系：(1,1,1,1)T,(1,-2,0,0)T
其次,把(1,1,1,1)T,(1,-2,0,0)T正交化,利用施密特正交化方法,得(1,1,1,1)T,(5,-7,1,1)T.再单位化为e3=1/2(1,1,1,1)T,e4=1/√76(6,-7,1,1)T
这样得到e1=1/√14(-2,-1,3,0)T ,e2=1/√266(-6,-3,-5,14)T,e3=1/2(1,1,1,1)T,e4=1/√76(5,-7,1,1)T是R4的一组标准正交基
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注：答案不唯一