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如图1,由直角三角形边角关系,可将三角形面积公式变形,即:,在Rt△ACD中,∵,∴CD=bsinA∴.①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半.如图2,在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=
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如图1,由直角三角形边角关系,可将三角形面积公式变形,
即:,
在Rt△ACD中,∵,
∴CD=bsinA
∴.①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半.
如图2,在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β.
∵S△ABC=S△ADC+S△BDC,由公式①,得
,
即AC×BC×sin(α+β)=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ.②
请你利用直角三角形边角关系,消去②中的AC、BC、CD,只用∠α、∠β、∠α+∠β的正弦或余弦函数表示(直接写出结果).
(1)______
(2)利用这个结果计算:sin75°=______
即:,
在Rt△ACD中,∵,
∴CD=bsinA
∴.①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半.
如图2,在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β.
∵S△ABC=S△ADC+S△BDC,由公式①,得
,
即AC×BC×sin(α+β)=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ.②
请你利用直角三角形边角关系,消去②中的AC、BC、CD,只用∠α、∠β、∠α+∠β的正弦或余弦函数表示(直接写出结果).
(1)______
(2)利用这个结果计算:sin75°=______
▼优质解答
答案和解析
(1)将②式左右两边同时除以AC×BC,变形后等式右边第一项根据利用余弦函数定义表示出cosβ,第二项利用余弦函数定义表示出cosα,即可得到所求的式子;
(2)将所求式子中的角75°变为45°+30°,由(1)得到的关系式变形,再利用特殊角的三角函数值计算,即可得到所求式子的值.
【解析】
(1)∵在Rt△ACD中,cosα=,在Rt△BCD中,cosβ=,
∴AC×BC×sin(α+β)=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ左右两边同时除以AC×BC得:
sin(α+β)=×sinα+×sinβ,
则sin(α+β)=sinα×cosβ+cosα×sinβ;
(2)sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=×+×=.
故答案为:(1)sin(α+β)=sinα×cosβ+cosα×sinβ;(2)
(2)将所求式子中的角75°变为45°+30°,由(1)得到的关系式变形,再利用特殊角的三角函数值计算,即可得到所求式子的值.
【解析】
(1)∵在Rt△ACD中,cosα=,在Rt△BCD中,cosβ=,
∴AC×BC×sin(α+β)=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ左右两边同时除以AC×BC得:
sin(α+β)=×sinα+×sinβ,
则sin(α+β)=sinα×cosβ+cosα×sinβ;
(2)sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=×+×=.
故答案为:(1)sin(α+β)=sinα×cosβ+cosα×sinβ;(2)
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