已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）当点P与点Q重合时，如图1，写出QE与QF的数量关系，不证明

Question

已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）当点P与点Q重合时，如图1，写出QE与QF的数量关系，不证明；
（2）当点P在线段AB上且不与点Q重合时，如图2，（1）的结论是否成立？并证明；
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，如图3，此时（1）的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

Answer 1

（1）QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴∠BFQ=∠AEQ=90°，
在△BFQ和△AEQ中

∠BFQ=∠AEQ

∠BQF=∠AQE

BQ-AQ

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，

（2）（1）中的结论仍然成立，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中，

∠FBQ=∠DAQ

BQ=AQ

∠BQF=∠AQD

，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．

（3）（1）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中，

∠1=∠D

∠2=∠3

AQ=BQ

，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，
∴QE=QF．