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判断函数的单调性,并用定义证明.y=√（x²+1）-x
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判断函数的单调性,并用定义证明.y=√（x²+1）-x
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答案和解析
设原函数为f(x),则 f(x) = ...其定义域为x属于R在R上任取x1,x2 使 x1 > x2;(接下来证明f(x1)>f(x2) 或 f(x1) 0
[f(x) +x]² = x² +1 (f(x)+x>0)
所以,[f(X1) +X1]² = X1² +1 (f(X1)+X1>0)
且 [f(X2) +X2]² = X2² +1 (f(X2)+X2>0)
两个等式相减,得：
[f(X1) +X1]² - [f(X2) +X2]² = X1² - X2²
[f(X1) +X1 + f(X2) +X2] [f(X1) -f(X2)] = (X1+X2)(X1-X2)
因为f(X1)+X1>0且(f(X2)+X2>0
所以[f(X1) +X1 + f(X2) +X2] >0
因为X1 > X2,所以X1-X2>0
综上所述,当X1+X2>0时,f(X1) -f(X2) >0
当X1+X2
[f(x) +x]² = x² +1 (f(x)+x>0)
所以,[f(X1) +X1]² = X1² +1 (f(X1)+X1>0)
且 [f(X2) +X2]² = X2² +1 (f(X2)+X2>0)
两个等式相减,得：
[f(X1) +X1]² - [f(X2) +X2]² = X1² - X2²
[f(X1) +X1 + f(X2) +X2] [f(X1) -f(X2)] = (X1+X2)(X1-X2)
因为f(X1)+X1>0且(f(X2)+X2>0
所以[f(X1) +X1 + f(X2) +X2] >0
因为X1 > X2,所以X1-X2>0
综上所述,当X1+X2>0时,f(X1) -f(X2) >0
当X1+X2
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