已知点P到定点F(0,1)和到直线y=3的距离之和为4,求动点P的轨迹方程.第二问,设过点F(0,1)的动直线l与轨迹C交于M,N两点,求MN长度的最大值.

Question

已知点P到定点F(0,1)和到直线y=3的距离之和为4,求动点P的轨迹方程.
第二问,设过点F(0,1)的动直线l与轨迹C交于M,N两点,求MN长度的最大值.

Answer 1

郭敦顒回答：
设直线l1：y=1,点F（0,1）在直线l1上；直线l2：y=3,
直线l1与直线l2之间的距离为d,则d=3－1=2
设点P的坐标为P（x,y）,作PK⊥直线l1于K,FP是Rt⊿FPK的斜边,则
FP+PK+d=4,FK²+PK²=FP²
∴FP+PK=2
FK=x,PK=1－y
∴FP=√[x²+（1－y）²]
∴√[x²+（1－y）²]=2
∴[x²+（1－y）²]=4
∴x²+（y－1）²=4,这是一个半圆的方程,圆心为F（0,1）,半径r=√4=2,此即动点P的轨迹方程之一,
取值范围：－2≤x≤2,－1≤y≤1：
当,1≤y≤3时,
√[x²+（1－y）²]+（3－y）=4
x²=4y
∴y=（1/4）x²
∴2≤x≤2√3,
∴y=（1/4）x²,是动点P的轨迹方程之二,
取值范围是：2≤x≤2√3,1≤y≤3；
当,3≤y≤4时,
√[x²+（1－y）²]+（y－3）=4
∴x²+（1－y）²=（7－y）²
x²－48=－12 y
∴y=－（1/12）x²+4,是动点P的轨迹方程之三,
取值范围是：－2√3≤x≤2√3,3≤y≤4.
第二问,设过点F(0,1)的动直线l与轨迹C交于M,N两点,求MN长度的最大值.
按动点P的轨迹方程之一（C1）x²+（y－1）²=4,半径r=2,和动点P的轨迹方程之三（C3）,M,N在Y轴上,它们的坐标分别是：M（0,4）N（－1）,
∴max MN=4－（－1）=5,
MN长度的最大值为5.