已知三角形ABC中,三边长分别为k^2+k+1,k^2-1,2k+1,求证三角形ABC中最大的内角的度数是120°

Question

已知三角形ABC中,三边长分别为k^2+k+1,k^2-1,2k+1,求证三角形ABC中最大的内角的度数是120°

Answer 1

证明：
不妨设a,b,c分别为k^2+k+1,k^2-1,2k+1
根据余弦定理得
cos A=(c^2+b^2-a^2)/2cb
=(k^4-2k^2+1+4k^2+4k+1-k^4-2k^3-3k^2-2k-1)/2(k^2-1)(2k+1)
=(-2k^3-k^2+2k+1)/2(2k+1)(k^2-1)
=-1/2
所以A=120度,为钝角,必然是最大角
所以三角形ABC中最大的内角的度数是120°.