在三角形abc中已知角abc所对的边分别为abc,且b=2,a2+c2-b2=ac1/2,求三角形面积最大值

Question

在三角形abc中已知角abc所对的边分别为abc,且b=2,a2+c2-b2=ac1/2,求三角形面积最大值

Answer 1

∵a²+c²-b²=(1/2)*ac
又余弦定理,有
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
∴ (1/2)*ac=2ac*cosB
则 cosB=1/4
故 sinB=√15/4
∵a²+c²-b²=(1/2)*ac
∴a²+c²=(1/2)*ac+b²
而 a²+c²≥2ac
(当且仅当a=c时,取得“＝”)
∴(1/2)*ac+b²≥2ac
∴ ac≤(2/3)*b²=(2/3)×2²=8/3
△ABC的面积
S=(1/2)*ac*sinB≤(1/2)×(8/3)×(√15/4)=√15/3
因此,当且仅当a=c时,△ABC的面积有最大值,最大值为√15/3