从原点做抛物线f(x)=x^2-2x+4的两条切线与抛物线所围成的图形记为D：求D的面积。请问具体如何做？这个图形怎么画？

Question

从原点做抛物线f(x)=x^2-2x+4的两条切线与抛物线所围成的图形记为D：求D的面积。 请问具体如何做？这个图形怎么画？

Answer 1

解: 求导:f'(x)=2x-2 1.求切线方程: 设切点横坐标为p,则有切线方程:y-(p^2-2p+4)=(2p-2)(x-p) 由于切线过原点,代入有: -(p^2-2p+4)=-p(2p-2) p^2-2p+4=2p^2-2p p^2=4,p=±2 切点:(2,4)与(-2,12) 故切线方程为:y=2x与y=-6x 2.求面积: D的面积等于抛物线下的面积减去两个三角形面积: 抛物线下面积:S1=∫[-2,2](x^2-2x+4)dx=[(1/3)x^3-x^2+4x]|[-2,2]=(20/3)+(44/3)=64/3 三角形面积:S2=0.5×2×(2^2)=4,S3=0.5×6×(2)^2=12 故: Sd=S1-S2-S3=(64/3)-4-12=16/3