设椭圆方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），离心率为22，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P（x0，y0）满足OP=OM+2ON，其中M，N是椭圆C上的点，直

Question

设椭圆方程(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），离心率为(√(2))/(2)，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-(1)/(2)，求证：x₀²+2y₀²为定值．

Answer 1

（1）∵椭圆方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），离心率为22，∴e2＝a2−b2a2＝12，即a2=2b2，（2分）∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，∴AB=2．∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c，1），即c2a2+1b2＝1，（4分）...