已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2），直

Question

已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），试求m的值．

Answer 1

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，求出椭圆的几何量，可得椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）直线AB、联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，化简整理即可求m的值．

【解答】（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，

∴c=，a=2，

∴b=1，

∴椭圆C的标准方程为=1；

（Ⅱ）直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），代入椭圆方程得

17x²﹣16mx+4m²﹣4=0，

则x₁+x₂=，x₁x₂=，①

由OA⊥OB，

知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（﹣2x₁+m）（﹣2x₂+m）

=5x₁x₂﹣2m（x₁+x₂）+m²=0，

将①代入，得5×﹣2m×+m²=0，

∵m＞0，

∴m=2．