已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点．（1）当椭圆的焦距为2，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；（3）若椭圆C的离

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点．
（1）当椭圆的焦距为2，且a²，b²，c²成等差数列时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；
（3）若椭圆C的离心率e满足：(√(5))/(5)≤e≤(√(3))/(3)，且以AB为直径的圆过坐标原点，求椭圆C的长轴的取值范围．

Answer 1

（1）∵椭圆的焦距为2，且a²，b²，c²成等差数列，
∴

2c＝2

2b2＝a2+c2

a2＝b2+c2

，解得

a2＝3

b2＝2，c＝1

，
∴椭圆C的方程为(x2)/(3)+(y2)/(2)＝1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x+y−1＝0

(x2)/(3)+(y2)/(2)＝1

，化为5x²-6x-3=0，
∴x1+x2＝

作业帮用户 2017-10-16 举报

问题解析

（1）由椭圆的焦距为2，且a²，b²，c²成等差数列，可得

2c＝2

2b2＝a2+c2

a2＝b2+c2

，解得即可；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=√(2)√((x1+x2)2−4x1x2)即可得出．．
（3）把直线与椭圆的方程联立得到△＞0，化为a²+b²＞1（*），同时得到根与系数的关系．由于以AB为直径的圆过坐标原点，可得

OA

•

OB

=0，即得到a，b的关系，由离心率e满足：(√(5))/(5)≤e≤(√(3))/(3)，即可得出．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．

考点点评：

本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为直线方程与椭圆方程联立得到△＞0及根与系数的关系、弦长公式、离心率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．

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