20分求已知等差数列An首项1,公差大于0,第二项第五项第十四项分别是等比数列Bn的第二项第三第四项设数列Cn对任意自然数n均有c1/b1+c2/b2+...+cn/bn=a(n+1),求c1+c2+c3+...+c2006的值

Question

20分求已知等差数列An首项1,公差大于0,第二项第五项第十四项分别是等比数列Bn的第二项第三第四项
设数列Cn对任意自然数n均有c1/b1+c2/b2+...+cn/bn=a(n+1),求c1+c2+c3+...+c2006的值

Answer 1

设这个常数列的首项是a1,公差是d,则(a5)²=(a2)×(a14),即(a1＋4d)²=(a1＋d)(a1＋13d),得：2a1d=d²,即d=2a1=2,所以,an=2n－1,bn=3^(n－1).
c1/b1＋c2/b2＋…＋cn/bn=a(n＋1),则n≥2时,有：
c1/b1＋c2/b2＋…＋c(n－1)/b(n－1)=an,两式相减,得：
cn/bn=d=2,其中n≥2,当n=1时,c1/b1=a2=3,所以数列{cn}是分段的(第一项是3,第二项起是2×3^(n－1)),所以c1＋c2＋…＋cn=3＋【2×3＋2×3²＋2×3³＋…＋2×3^(n－1)】,后面的和采用错位法求和.