已知,如图:在平面直角坐标系中,O是坐标原点,△ABC的三个定点坐标分别是A（1,2√3）B(-3,0) C(3,0)……RT,直线AC与反比例函数y=k/x在第一象限内的图像相交于A,M两点.（1）求反比例函数y=k/x的解析

Question

已知,如图:在平面直角坐标系中,O是坐标原点,△ABC的三个定点坐标分别是A（1,2√3）B(-3,0) C(3,0)……
RT,直线AC与反比例函数y=k/x在第一象限内的图像相交于A,M两点.
（1）求反比例函数y=k/x的解析式.
（2）连接BM叫AO与点N,求证N是△ABC的重心
（3）在直线AC上是否存在一点P使△BPO的周长L取得最小值,若存在,求出L的最小值并证明；若不存在,请说明理由.

只答第3题也可以。求速度。

Answer 1

1.将A点坐标代入y=k/x,得k=2√3,即xy=2√3①
2.AC连线L1方程为y=-√3x+3√3②
联立①②,得到M坐标为（2,√3）
经计算,|AC|=4,|AM|=2,即M为AC中点
又O为BC中点,则N为三角形两中线交点,为重心
3.因为OB长度固定,计算BP+OP长度,可转化为河岸取水问题
做O关于AC对称点O'
过O点AC垂直线为y=kx,k*(-√3)=-1
即k=√3/3,y=(√3/3)x
设OO'与AC交于Q,则|OQ|=|√3*0+0-3√3|/√((√3)^2+1^2)=3√3/2
则O'（x,(√3/3)x),|O'Q|=|√3*x+(√3/3)x-3√3|/√((√3)^2+1^2)=(4√3/3)x-3√3)/2
因为OQ=O'Q,解得O'(9/2,3√3/2)
连接BO',方程为y=(√3/5)x+3√3/5
与AC交于P(2,√3)
此时BP+O'P最短,又因为O与O'关于AC对称,所以OT≡O'T(恒等)
故此时BP+OP最短
P(2,√3),L=3+√34+√7
毕竟是手算的,方法没错,数据不敢打包票,请自行验证
另外,有耐心的话也可以转化为椭圆
以BO为焦点做椭圆：(x+1.5)^2/a^2+y^2/(a^2-9)=1③
联立②③,得（4*a^2-9)x^2-(21*a^2-27)x-18/4+153/4a^2-a^4=0
令△=0即可,