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若三角形ABC三边为a b c符合等式a^3+b^3+c^3=3abc,判断三角形的形状并说明
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若三角形ABC三边为a b c符合等式a^3+b^3+c^3=3abc,判断三角形的形状并说明
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答案和解析
a^3+b^3+c^3=3abc
a^3+b^3+c^3-3abc=0
(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0
(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0
(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]=0
(a+b+c)[a^2+b^2-ac-bc+c^2-ab]=0
(1/2)(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]＝0 〔配方法〕
因abc均大于0,所以a+b+c>0,所以
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2＝0
三个完全平方式,只有都等于0时等式才能成立
即a＝b,b＝c,c＝a
所以这个三角形是等边三角形
a^3+b^3+c^3-3abc=0
(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0
(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0
(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]=0
(a+b+c)[a^2+b^2-ac-bc+c^2-ab]=0
(1/2)(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]＝0 〔配方法〕
因abc均大于0,所以a+b+c>0,所以
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2＝0
三个完全平方式,只有都等于0时等式才能成立
即a＝b,b＝c,c＝a
所以这个三角形是等边三角形
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